2.1
Definisi dan Notasi Fungsi
Definisi 2.1.1.
Fungsi $f$ dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ adalah pemetaan yang
memasangkan setiap $x\in A$ dengan tepat satu $y\in B$ ditulis
$f:A\longrightarrow B$ dan $y=f(x)$ dengan $x$ adalah peubah bebas,
$y$ adalah peubah tak bebas, nilainya tergantung $x$ yang mungkin.
Domain dan Range
-
Domain (daerah asal) dari fungsi $f$ merupakan himpunan semua bilangan
real $x$ yang bisa menjadi input. Domain dari fungsi $f$ dinotasikan
sebagai $$\mathcal{D}(f)=\{x\in\R|f(x)\in\R\}.$$ Adapun jenis-jenis
domain, yaitu:
- Domain Alami: Himpunan semua $x$ sehingga nilai $f(x)$ terdefinisi.
- Domain Fisis: Himpunan semua $x$ sehingga nilai $f(x)$ ada dan sesuai dengan masalah fisis terkait.
- Domain yang dibatasi: Domain yang dibatasi sesuai dengan permasalahan yang diinginkan.
Catatan:- Sesuatu yang berada di dalam akar kuadrat ($\sqrt{}$) nilainya haruslah lebih besar atau sama dengan $0$ agar fungsi terdefinisi pada bilangan real.
- Penyebut dalam pecahan tidak boleh bernilai $0$.
- Range (daerah hasil) dari fungsi $f$ merupakan himpunan semua \textit{output} yang mungkin dihasilkan. Range dari fungsi $f$ dinotasikan sebagai $$\mathcal{R}(f)=\{f(x)|x\in\mathcal{R}(f)\}.$$ Untuk mendapatkan range dari fungsi $f$, perlu dilakukan analisis perhitungan nilai yang mungkin dari $f(x)$.
Fungsi Sepotong-Sepotong
Fungsi sepotong-sepotong (piecewise function) adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada beberapa daerah asal yang berbeda di mana pada masing-masing domain tersebut sub-fungsinya berbeda pula. Bentuk umum dari fungsi sepotong-sepotong adalah $$f(x) = \begin{cases} f_1(x), & x \in \mathcal{D}f_1, \\ f_2(x), & x \in \mathcal{D}f_2, \\ \hspace{1.2cm} \vdots \\ f_n(x), & x \in \mathcal{D}f_n. \end{cases}$$ Adapun domain $f(x)$ merupakan gabungan dari domain semua sub-fungsi, yaitu: $$\mathcal{D}(f)=\mathcal{D}(f_1)\cup \mathcal{D}(f_2)\cup \dots \cup \mathcal{D}(f_n)$$ dengan $\mathcal{D}(f_i)\cap\mathcal{D}(f_j)=\emptyset$ untuk $i\neq j$.Jenis-Jenis Fungsi
Berikut adalah beberapa jenis fungsi.- Fungsi Konstan \begin{align*} \boxed{f(x) = k} \end{align*} dengan \(k \in \mathbb{R}\).
- Monomial dalam \(x\) \begin{align*} \boxed{f(x) = cx^n} \end{align*} dengan \(c\) konstan dan \(n\) bilangan bulat tak negatif.
- Polinomial dalam \(x\) \begin{align*} \boxed{f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \dots + a_0} \end{align*} dengan \(n\) bilangan bulat tak negatif dan \(a_0, a_1, a_2, \dots, a_n\) konstan. Pangkat tertinggi dari \(x\) dalam suatu polinomial disebut derajat polinomial.
- Fungsi Rasional \begin{align*} \boxed{ \displaystyle f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \dots + a_0}{b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + \dots + b_0} } \end{align*} dengan \(n\) bilangan bulat tak negatif dan penyebut tidak nol: \(b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + \dots + b_0 \ne 0\). Adapun \(a_0, a_1, a_2, \dots, a_n, b_0, b_1, b_2, \dots, b_n\) konstan.
- Fungsi Aljabar Eksplisit merupakan fungsi yang dievaluasi dengan berhingga banyak penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan penarikan akar.
- Fungsi Aljabar Transendental merupakan fungsi yang memuat bentuk-bentuk trigonometrik, eksponensial, dan logaritma.
Contoh 1
Jika $\displaystyle f(t)=\begin{cases} 2t-1, 0\leq t\leq 1\\ t^2-1,
t>1 \end{cases}$, maka
$f\left(\dfrac{5}{2}\right)-f\left(\dfrac{3}{4}\right)=$
Pembahasan
Perhatikan bahwa $t=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$ sehingga $t>1$.
$$f\left(\frac{5}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}\right)^2-1=\frac{25}{4}-1=\frac{21}{4}$$
Adapun $t=\frac{3}{4}<1$ sehingga berada pada interval $0\leq t
\leq 1$.
$$f\left(\frac{3}{4}\right)=2\left(\frac{3}{4}\right)-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$$
Oleh karena itu, diperoleh bahwa
$$f\left(\frac{5}{2}\right)-f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{21}{4}-\frac{1}{2}=\frac{19}{4}.$$
Contoh 2
Tentukan fungsi berikut ini termasuk jenis: monomial, polinomial,
fungsi rasional, atau fungsi aljabar eksplisit.
- $5x^5$
- $3x^{2/3}$
- $3x^{-3}$
- $2x^3-3$
- $x\sqrt{x^2-1}$
- $\dfrac{2+x^2}{x^3-3}$
Pembahasan
Dengan mencocokkan bentuk fungsi dengan kriteria pada bagian
Jenis-Jenis Fungsi di Rangkuman Materi, diperoleh jenis-jenis
fungsi tersebut adalah sebagai berikut.
- Fungsi monomial
- Fungsi aljabar eksplisit
- Fungsi aljabar eksplisit
- Fungsi polinomial
- Fungsi aljabar eksplisit
- Fungsi rasional
Contoh 3 (ETS 2023/2024)
Diketahui $\displaystyle f(x)=\frac{4}{x^2-1}$ dan $g(x)=\sqrt{x+4}$.
Dapatkan domain $f$ dan $g$.
Pembahasan
Pertama-tama, akan ditentukan domain dari $f(x)$. Perhatikan bahwa
$f(x)$ merupakan fungsi dalam bentuk pecahan dengan penyebut
$x^2-1$. Oleh karena itu, $f(x)$ akan terdefinisi ketika
penyebutnya bernilai tak nol atau dengan kata lain \begin{align*}
x^2-1&\neq 0\\ (x+1)(x-1)&\neq 0\\ x\neq -1 \quad &\text{atau}
\quad x\neq 1. \end{align*} Dengan demikian, domain dari $f(x)$
adalah semua bilangan real, kecuali $-1$ dan $1$ atau dapat
dituliskan sebagai $$\mathcal{D}(f)=\{x|x<-1\cup -1<x<1
\cup x>1, x\in \R\}.$$ Selanjutnya, akan ditentukan domain dari
$g(x)$. Perhatikan bahwa $g(x)$ merupakan fungsi dalam bentuk akar
yang di dalamnya terdapat ekspresi $x+4$. Agar $g(x)$ terdefinisi,
haruslah $x+4$ bernilai tak negatif. Dengan demikian, domain dari
$g(x)$ adalah \begin{align*} x+4\geq 0\\ x\geq -4 \end{align*}
atau dapat dituliskan $$\mathcal{D}(g)=\{x|x\geq-4,x\in
\R\}=[-4,+\infty)$$
Latihan!
ETS 2021/2022
Diberikan fungsi $f(x)=|(x+1)^2-1|$. Nyatakan $f(x)$ dalam bentuk
fungsi sepotong-sepotong tanpa menggunakan tanda mutlak.
Jawab:
ETS 2023/2024
Diberikan fungsi $f(x)=\sqrt{1-x}$ dan $\displaystyle
g(x)=\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$. Dapatkan domain $f$ dan $g$.
Jawab:
ETS 2023/2024
Diberikan fungsi $f(x)=|x^2-1|$ dan $\displaystyle
g(x)=\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}$. Dapatkan domain $f$ dan $g$.
Jawab: